关于差值方法

lm_lxt

已知一组数据，用Lagrange多项式插值方法计算出来的数据不符合数据的真实趋势，如何解决？

lm_lxt

这是已知数据：
0          0
2      0.350617
4       0.938272
6      0
8      -0.316049
10      -0.217284
12      0
14      0.0987654
16      0.0790123
18      0
下面是插值后加密的数据：
0              0
            0.5       -1.14289
              1      -0.970142
            1.5      -0.319806
              2       0.350617
            2.5       0.832135
              3        1.06738
            3.5        1.08199
              4       0.938272
            4.5       0.705968
              5       0.445728
            5.5       0.201669
              6              0
            6.5      -0.148687
              7      -0.245285
            7.5      -0.297569
              8      -0.316049
            8.5      -0.310836
              9      -0.289764
            9.5      -0.257765
             10      -0.217284
           10.5      -0.169407
             11      -0.115269
           11.5     -0.0573139
             12              0
           12.5      0.0503486
             13      0.0866936
           13.5       0.103369
             14      0.0987654
           14.5      0.0779355
             15      0.0540707
           15.5      0.0473299
             16      0.0790123
           16.5       0.158492
             17        0.25971
           17.5       0.283339
             18              0
下图是插值前后的对比图，显然插值后数据趋势不正确（黄色点为原始数据）。

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谢谢！这个很完美，下午看。

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再次感谢臭石头！
下午考虑的情况：三次样条虽然能很好地光滑插值（如臭石头给出的例子），但是和影响线的真实情况有所区别（如弯矩影响线有尖点），所以最终采取数据分段的方法，依旧采用Lagrange差值计算，结果吻合良好：

lm_lxt

发现拉格朗插值的稳定性不好，下面的数据插值后发散。期待雪球用三次样条验证下是否可行（我改了下fortran代码，老是不对）？
共53行数据，要求插值间距为0.1：

0 0.0448691
0.8 0
3.36 -0.141092
5.92 -0.270408
8.48 -0.379768
11.04 -0.462291
13.6 -0.511338
16.16 -0.524469
18.72 -0.509841
21.28 -0.47633
23.84 -0.432552
26.4 -0.387011
28.96 -0.346568
31.52 -0.311683
34.08 -0.281601
36.64 -0.255941
39.2 -0.234728
41.76 -0.218125
44.32 -0.204685
46.88 -0.192656
49.44 -0.180615
52 -0.16741
54.56 -0.152814
57.12 -0.137541
59.68 -0.122244
62.24 -0.107776
64.8 -0.0951893
67.36 -0.0854269
69.92 -0.0777986
72.48 -0.071234
75.04 -0.0648455
77.6 -0.0579076
80.16 -0.0502016
82.72 -0.0420509
85.28 -0.0337848
87.84 -0.0258565
90.4 -0.0188259
92.96 -0.0132322
95.52 -0.00877765
98.08 -0.00491217
100.64 -0.0011118
103.2 0.0032074
105.76 0.00809623
108.32 0.0127307
110.88 0.0166258
113.44 0.019518
116 0.0215117
118.56 0.0226838
121.12 0.0216095
123.68 0.0171785
126.24 0.00933951
128.8 0
129.6 -2.70E-03

lm_lxt

要分段的话不方便，不知道三次样条怎么样？

lm_lxt

总结：当插值点较多的时候，全局拉格朗日方法会出现插值不稳定，差值结果误差很大的情况；后来采用了三次样条函数插值的方法，差值效果很好，解决了插值发散的问题。