差分法解一维含时薛定谔方程，急...
简单解释：偏微分，长得像倒e的那个符号，看作导数符号。基本就是差分法直接代替两个偏微分（一个一阶偏微分，一个二阶偏微分），化简一下，即得psy(i,j+1)=psy(i,j)+cj*tao*((psy(i+1,j)-2*psy(i,j)+psy(i-1,j))/(h**2)-V(i)*psy(i,j))
先用Fortran写的程序，之后用origin画的图（图见附件），可是psy波函数解出来后应该是随时间而变化的，但我的基本没变化。（非物理方向专业可略去不看——这个方程类似一维热传导方程，只是相对多了一个虚数单位和一个psy函数，不知道会不会出现问题，方法二（未在图中展示）是我把psy（念为pusai）函数分解为实部和虚部，代回到薛定谔方程所得到的两个对应项的方程，然后仍旧是使用差分解法。）理论上两种方法基本没有区别，而实际上我的图也确实无异，但这更加使我疑惑，不知道问题出现在了哪里。
老师说我图像不对的原因是——M（空间的步数）,N（时间的步数）,Tao（即dx，空间步长）和h（即dt，时间步长）的值设置的不合理，而我试了一个晚上，终究还是没出来结果。其他考试临近，实在没太多时间执着于这个问题了，万望高人指点
program time_dependent_schrodinger_equation
implicit none
integer,parameter::M=150,N=500
integer::i,j
real*16::hba=1.,mu=1./2
!hba即（普朗克常数/2/pi），mu为质量
real*16::l=150,T1=5
real,external::V ！势能函数
real*16,dimension(M)::x,x1
real*16,dimension(N)::t,normalize,psy4
real*16,dimension(M,N)::psy2,psy3！psy2为对复数psy取模并求其平方的大小，psy3，即为归一化后的波恩诠释下的概率。
complex*16,dimension(M,N)::psy
complex::cj
real*16::h,tao,pi
h=l/M
tao=T1/N
pi=asin(1.)*2
cj=(0.,1.)!虚数单位
!给出初始边界及初始值
do j=1,N
psy(1,j)=0
psy(M,j)=0 ！边界设定为无限深势阱
end do
do i=2,M-1
x1(i)=i*h
psy(i,1)=exp(((-1)*(x1(i)*0.2-5)**2./2.)/(2.*pi)) ！阱内给出初始值
end do !x(i)比着正常多乘上个0。2，平移了波的位置
!中心差法解薛定谔方程
do j=1,N-1
do i=2,m-1
psy(i,j+1)=psy(i,j)+cj*tao*((psy(i+1,j)-2*psy(i,j)+psy(i-1,j))/(h**2)-V(i)*psy(i,j)) ！核心内容，将中心差法代入薛定谔方程并整理
psy2(i,j+1)=(abs(psy(i,j+1)))**2
! write(13,*) psy2(i,j+1)
end do
end do
!归一化
do j=2,n
normalize(j)=(sum(psy2(1:m,j)))!**0.5
end do
do j=2,N
do i=2,m-1
x(i)=i*h
t(j)=j*tao
psy3(i,j)=psy2(i,j)/(normalize(j))!**2
write(13,*) x(i),t(j),psy3(i,j)
end do
psy4(j)=sum(psy3(1:M,j))
! write(14,*) psy4(j) !检验归一化的正确性
end do
stop
end
!给出势函数
real function V(i)
implicit none
integer::i
v=0
if (abs(i-75)-5<1.e-6) then
V=10.
end if
! if abs(x-40)<3&abs(x-60)<3
! V=10
return
end
这就是一维薛定谔方程，简单解释：偏微分，长得像倒e的那个符号，看作导数符号。基本就是差分法直接代替两个偏微分（一个一阶偏微分，一个二阶偏微分），化简一下，即得psy(i,j+1)=psy(i,j)+cj*tao*((psy(i+1,j)-2*psy(i,j)+psy(i-1,j))/(h**2)-V(i)*psy(i,j)) 需要U和miu的表达式 li913 发表于 2017-1-2 20:04
需要U和miu的表达式
我的u是以V的形式给的，miu是mu 本帖最后由 li913 于 2017-1-3 16:13 编辑
1、我改了初始条件；2、tao参数不合适。把t1改成20后，第30个点随时间变化如图；
3、你的差分公式貌似不对。program time_dependent_schrodinger_equation
implicit none
integer,parameter::M=150,N=500
real(8)::L=150d0, T1=20, hba=1d0,mu=0.5d0
integer::i,j
real,external::V !势能函数
real(8) ::psy2(m,n)
complex(8):: cj=cmplx(0.0,1.0), psy(M,N)
real(8)::h, tao, pi=3.1415926d0
h=L/M
tao=T1/N
!给出初始边界及初始值
psy = 0
psy2 = 0
do i=2,M-1
psy(i,1)=sin(2*pi/m*i) !！阱内给出初始值
end do
!中心差法解薛定谔方程
do j=1,N-1
do i=2,m-1
!psy(i,j+1)=psy(i,j)+cj*tao*((psy(i+1,j)-2*psy(i,j)+psy(i-1,j))/(h**2)-V(i)*psy(i,j)) !！核心内容，将中心差法代入薛定谔方程并整理
psy(i,j+1) = v(i)*psy(i,j) - (psy(i+1,j)-2*psy(i,j)+psy(i-1,j))/2.0/mu + cj*h/tao*psy(i,j)
psy(i,j+1) = psy(i,j+1) *tao/h/cj
psy2(i,j+1)=(abs(psy(i,j+1)))**2
end do
end do
do i=1,n
write(10,*) i,psy2(30,i)
end do
pause
end
!给出势函数
real function V(i)
implicit none
integer::i
v=0
if (abs(i-75)-5<1.e-6) then
V=10.
end if
end 时间步长选着不合适
你可以找本时域有限差分法（FDTD）看看，
附件是一个解释
li913 发表于 2017-1-3 15:24
1、我改了初始条件；2、tao参数不合适。把t1改成20后，第30个点随时间变化如图；
3、你的差分公式貌似不对 ...
麻烦你再推导一下你的公式，我推导过程如图。另外，我想要的是三维图像（x-t-psy的平方），当将你的数据输出修改后，图像差别太大。你为何把归一化条件给删掉了呢？
kerb 发表于 2017-1-3 20:11
时间步长选着不合适
你可以找本时域有限差分法（FDTD）看看，
附件是一个解释
我根据c（光速）=dx/dt作了图。M=15000,N=50，l=1500,T1=0.05，可是图像也并未移动。另外，在我的程序里，我应该是给光速暗含了重定义，并不等与传统的10**8量级，所以应该并不作影响吧？ 会不会边界条件已经暗示了我的波函数只能是驻波？
不知道为何，就连我给的热传导程序，也都是个静止的图像。
program main
implicit none
integer,parameter::M=150,N=500
real,dimension(M)::x,x1
real,dimension(N)::t
real,dimension(M,N)::y
integer::i,j
real::l=150,t1=5,pi,h,tao
pi=asin(1.)*2
h=l/m
tao=t1/n
do j=1,N
y(1,j)=0
y(m,j)=0
ENd do
do i=2,M-1
x1(i)=i*h
y(i,1)=exp(((-1)*(x1(i)*0.2-5)**2./2.)/(2.*pi))
end do
do j=1,n-1
do i=2,m-1
x(i)=i*h
t(j+1)=(j+1)*tao
y(i,j+1)=y(i,j)+tao*((y(i+1,j)-2*y(i,j)+y(i-1,j))/(h**2))
write(22,*) x(i),t(j+1),y(i,j+1)
end do
end do
end program 你搜一下courant condition
双曲类偏微分方程差分法求解，对dx,dy,dt等有一定要求，你自己搜一下
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