差分法解一维含时薛定谔方程，急...

薛定谔方程 · 发表于 2017-1-1 17:15:04

简单解释：偏微分，长得像倒e的那个符号，看作导数符号。基本就是差分法直接代替两个偏微分（一个一阶偏微分，一个二阶偏微分），化简一下，即得psy(i,j+1)=psy(i,j)+cj*tao*((psy(i+1,j)-2*psy(i,j)+psy(i-1,j))/(h**2)-V(i)*psy(i,j))

先用Fortran写的程序，之后用origin画的图（图见附件），可是psy波函数解出来后应该是随时间而变化的，但我的基本没变化。（非物理方向专业可略去不看——这个方程类似一维热传导方程，只是相对多了一个虚数单位和一个psy函数，不知道会不会出现问题，方法二（未在图中展示）是我把psy（念为pusai）函数分解为实部和虚部，代回到薛定谔方程所得到的两个对应项的方程，然后仍旧是使用差分解法。）理论上两种方法基本没有区别，而实际上我的图也确实无异，但这更加使我疑惑，不知道问题出现在了哪里。
老师说我图像不对的原因是——M（空间的步数）,N（时间的步数）,Tao（即dx，空间步长）和h（即dt，时间步长）的值设置的不合理，而我试了一个晚上，终究还是没出来结果。其他考试临近，实在没太多时间执着于这个问题了，万望高人指点

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01program time_dependent_schrodinger_equation
02    implicit none
03    integer,parameter::M=150,N=500
04    integer::i,j
05    real*16::hba=1.,mu=1./2
06!hba即（普朗克常数/2/pi），mu为质量
07    real*16::l=150,T1=5
08    real,external::V ！势能函数
09    real*16,dimension(M)::x,x1
10    real*16,dimension(N)::t,normalize,psy4
11    real*16,dimension(M,N)::psy2,psy3  ！psy2为对复数psy取模并求其平方的大小，psy3，即为归一化后的波恩诠释下的概率。
12    complex*16,dimension(M,N)::psy
13    complex::cj
14    real*16::h,tao,pi
15    h=l/M
16    tao=T1/N
17    pi=asin(1.)*2
18    cj=(0.,1.)  !虚数单位
19!给出初始边界及初始值
20       do j=1,N
21        psy(1,j)=0
22        psy(M,j)=0 ！边界设定为无限深势阱
23    end do
24    do i=2,M-1
25        x1(i)=i*h
26        psy(i,1)=exp(((-1)*(x1(i)*0.2-5)**2./2.)/(2.*pi))   ！阱内给出初始值
27    end do                          !x(i)比着正常多乘上个0。2，平移了波的位置
28!中心差法解薛定谔方程
29    do j=1,N-1
30        do i=2,m-1
31            psy(i,j+1)=psy(i,j)+cj*tao*((psy(i+1,j)-2*psy(i,j)+psy(i-1,j))/(h**2)-V(i)*psy(i,j))    ！核心内容，将中心差法代入薛定谔方程并整理
32            psy2(i,j+1)=(abs(psy(i,j+1)))**2
33       !     write(13,*) psy2(i,j+1)
34        end do
35    end do
36!归一化
37    do j=2,n
38        normalize(j)=(sum(psy2(1:m,j)))!**0.5   
39    end do
40    do j=2,N
41        do i=2,m-1
42            x(i)=i*h
43            t(j)=j*tao
44            psy3(i,j)=psy2(i,j)/(normalize(j))!**2
45            write(13,*) x(i),t(j),psy3(i,j)
46        end do
47        psy4(j)=sum(psy3(1:M,j))
48    !    write(14,*) psy4(j)   !检验归一化的正确性
49    end do
50    stop
51    end
52!给出势函数
53real    function V(i)
54        implicit none
55        integer::i
56        v=0
57        if (abs(i-75)-5<1.e-6) then
58          V=10.
59        end if
60!   if abs(x-40)<3&abs(x-60)<3
61!   V=10
62        return
63end

薛定谔方程 · 发表于 2017-1-1 21:57:26

这就是一维薛定谔方程，简单解释：偏微分，长得像倒e的那个符号，看作导数符号。基本就是差分法直接代替两个偏微分（一个一阶偏微分，一个二阶偏微分），化简一下，即得psy(i,j+1)=psy(i,j)+cj*tao*((psy(i+1,j)-2*psy(i,j)+psy(i-1,j))/(h**2)-V(i)*psy(i,j))

li913 · 发表于 2017-1-2 20:04:43

需要U和miu的表达式

薛定谔方程 · 发表于 2017-1-3 11:15:16

li913 发表于 2017-1-2 20:04
需要U和miu的表达式

我的u是以V的形式给的，miu是mu

li913 · 发表于 2017-1-3 15:24:53

本帖最后由 li913 于 2017-1-3 16:13 编辑

1、我改了初始条件；2、tao参数不合适。把t1改成20后，第30个点随时间变化如图；
3、你的差分公式貌似不对。

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01program time_dependent_schrodinger_equation
02    implicit none
03    integer,parameter::M=150,N=500
04    real(8)::L=150d0, T1=20, hba=1d0,mu=0.5d0
05    integer::i,j
06    real,external::V !势能函数
07    real(8) ::psy2(m,n)
08    complex(8):: cj=cmplx(0.0,1.0), psy(M,N)
09    real(8)::h, tao, pi=3.1415926d0
10    h=L/M
11    tao=T1/N
12!给出初始边界及初始值
13    psy = 0
14    psy2 = 0
15    do i=2,M-1
16        psy(i,1)=sin(2*pi/m*i)   !！阱内给出初始值
17    end do                      
18 
19!中心差法解薛定谔方程
20    do j=1,N-1
21        do i=2,m-1
22            !psy(i,j+1)=psy(i,j)+cj*tao*((psy(i+1,j)-2*psy(i,j)+psy(i-1,j))/(h**2)-V(i)*psy(i,j))    !！核心内容，将中心差法代入薛定谔方程并整理
23            psy(i,j+1) = v(i)*psy(i,j) - (psy(i+1,j)-2*psy(i,j)+psy(i-1,j))/2.0/mu + cj*h/tao*psy(i,j)
24            psy(i,j+1) = psy(i,j+1) *tao/h/cj
25            psy2(i,j+1)=(abs(psy(i,j+1)))**2
26             
27        end do
28    end do
29    do i=1,n
30      write(10,*) i,psy2(30,i)
31    end do
32pause
33    end
34!给出势函数
35real    function V(i)
36        implicit none
37        integer::i
38        v=0
39        if (abs(i-75)-5<1.e-6) then
40          V=10.
41        end if
42end

kerb · 发表于 2017-1-3 20:11:06

时间步长选着不合适
你可以找本时域有限差分法（FDTD）看看，
附件是一个解释

薛定谔方程 · 发表于 2017-1-5 12:07:16

li913 发表于 2017-1-3 15:24
1、我改了初始条件；2、tao参数不合适。把t1改成20后，第30个点随时间变化如图；
3、你的差分公式貌似不对 ...

麻烦你再推导一下你的公式，我推导过程如图。另外，我想要的是三维图像（x-t-psy的平方），当将你的数据输出修改后，图像差别太大。你为何把归一化条件给删掉了呢？

薛定谔方程 · 发表于 2017-1-5 12:10:37

kerb 发表于 2017-1-3 20:11
时间步长选着不合适
你可以找本时域有限差分法（FDTD）看看，
附件是一个解释

我根据c（光速）=dx/dt作了图。M=15000,N=50，l=1500,T1=0.05，可是图像也并未移动。另外，在我的程序里，我应该是给光速暗含了重定义，并不等与传统的10**8量级，所以应该并不作影响吧？

薛定谔方程 · 发表于 2017-1-5 12:15:38

会不会边界条件已经暗示了我的波函数只能是驻波？
不知道为何，就连我给的热传导程序，也都是个静止的图像。

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01program main
02    implicit none
03    integer,parameter::M=150,N=500
04    real,dimension(M)::x,x1
05    real,dimension(N)::t
06    real,dimension(M,N)::y
07    integer::i,j
08    real::l=150,t1=5,pi,h,tao
09    pi=asin(1.)*2
10    h=l/m
11    tao=t1/n
12    do j=1,N
13        y(1,j)=0
14        y(m,j)=0
15    ENd do
16    do i=2,M-1
17        x1(i)=i*h
18        y(i,1)=exp(((-1)*(x1(i)*0.2-5)**2./2.)/(2.*pi))
19    end do
20    do j=1,n-1
21        do i=2,m-1
22            x(i)=i*h
23            t(j+1)=(j+1)*tao
24            y(i,j+1)=y(i,j)+tao*((y(i+1,j)-2*y(i,j)+y(i-1,j))/(h**2))
25            write(22,*) x(i),t(j+1),y(i,j+1)
26        end do
27    end do
28    end program

kerb · 发表于 2017-1-5 19:56:19

你搜一下courant condition
双曲类偏微分方程差分法求解，对dx,dy,dt等有一定要求，你自己搜一下

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